Apuntes de Álgebra
Felipe René Acosta Velázquez

Búsqueda personalizada

Ceros Racionales del Polinomio

 

 

Teorema de los ceros racionales

arriba

El teorema del factor nos dice que determinar los ceros de una funcion polinomial en realidad es lo mismo que descomponerla en factores.

Para comprender el siguiente teorema, consideremos el siguiente polinomio ya factorizado:

P(x) = x3 − x2 − 14x + 24   =   ( x − 2 )( x − 3 )( x + 4 )

La forma factorizada nos muestra que los ceros del polinimio están en 2, 3, − 4. En la forma desarrollada, la constante 24 se obtiene al multiplicar ( 2 )( 3 )( − 4 ). Lo cual quiere decir que los ceros del polinomio son factores del término constante.

Teorema de los ceros racionales

Si el polinomio P(x) = an xn   +   an − 1 x n − 1   +   ...   +   a1 x1   +   a0 x0 tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional de P(x) es de la forma:

p
q

Donde p es un factor del coeficiente constante a0

y q es un factor del coeficiente principal an.

Para obtener los ceros racionales y por lo tanto los factores de P(x) = x3 − x2 − 14x + 24, lo primero que tenemos que hacer es ver cuales son los factores de p y de q

Factores de p = 24 p = { ±1,  ±2,  ±3,  ±4,  ±6,  ±8,  ±12; ±24 }

Factores de q = 1 q = { ±1}

Ahora formemos números racionales con las combinaciones posibles de p/q

p/q = { ±1,  ±2,  ±3,  ±4,  ±6,  ±8,  ±12; ±24 }

Mediante la regla de Descartes podemos saber cuantos posibles ceros positivos y negativos

ƒ(x) = x3 x2 14x + 24
+ +

Hay dos ceros positivos reales.

ƒ(− x) = − x3 x2 + 14x + 24
+ +

Hay un cero negativo real

Para determinar cuales de los números racionales p/q son ceros se divide el polinomio P(x) entre un binomio x − p/q con cada uno de los posibles ceros, si el residuo es 0, entonces tendremos una raíz o cero del polinomio.

Empecemos con los positivos, dividimos el polinomio entre x − 1

1 1 − 1 − 14 24
    1 0 − 14
1 0 − 14 10

El valor x = 1 no es cero. Sigamos con 2

2 1 − 1 − 14 24
    2 2 − 24
1 1 − 12 0

El valor x = 2 si es cero. Por lo tanto, al factorizar nos queda un binomio por una cuadrática que podemos resolver por la fórmula general.

P(x) = x3 − x2 − 14x + 24 = ( x − 2 )( x2 + x − 2 )

x =   − 1 ± √ 1 − ( 4 )( 1 )( − 12 )   =   − 1 ± √ 49   =   − 1 ± 7
2( 1 ) 2 2

Los otros dos ceros son:

x =   − 1 − 7   = − 4
2
x =   − 1 + 7   = 3
2

La función factorizada queda:

P(x) = ( x − 2 )( x − 3 )( x + 4 )

 

 

Cotas para ceros reales

arriba

En el proceso de obtener cada uno de los ceros o raíces, los cálculos se simplifican considerablemente, si se sabe que se localizan en un cierto intervalo. A los límites de este intervalo se les llama cota inferior y cota superior de los ceros del polinomio

Principio de las cotas para ceros reales

  1. Si al efectuar unadivisión sintética de P(x) entre x − b y ninguno de los coeficientes tanto del cociente como del reduo es negativo, entonces b es la cota superior para los ceros del polinomio

  2. Si al efectuar unadivisión sintética de P(x) entre x − b y los coeficientes tanto del cociente como del reduo presentan signos alternados, entonces b es la cota inferior para los ceros del polinomio

Ejemplo

①   Encontrar los ceros de la función: P(x) = x3 − 2x2 − 11x + 12

Encontrar los factores de p = 12, y de q = 1

p = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 }

q = { ± 1 }

p/q = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 }

Mediante la regla de Descartes podemos saber cuantos posibles ceros positivos y negativos

P(x) = x3 2x2 11x + 12
+ +

Hay dos ceros positivos reales.

P(− x) = − x3 x2 + 11x + 12
+ +

Hay un cero negativo real

Comenzamos a evaluar los posibles ceros, probemos con x = − 4

− 4 1 − 2 − 11 12
    − 4 24 − 52
1 − 6 13 − 40

Como el residuo es 40 entonces − 4 no es cero, pero como los signos están alternados, es cota inferior. Por lo tanto probaremos números mayores de − 4

Probemos con el + 4, para buscar la cota superior.

4 1 − 2 − 11 12
    4 8 − 12
1 2 − 3 0

No es cota pero como el residuo es 0, entonces el x = 4 es uno de los dos ceros positivos. Entonces el polinomio factorizado queda:

P(x) = ( x − 4 )( x2 + 2x − 3 )

Usando el mismo procedimiento para el trinomio

p/q = { ± 1, ± 3 }

Probemos con el + 1

1 1 2 − 3
    1 3
1 3 0

El segundo cero es x = 1. La ecuación factorizada queda:

P(x) = ( x − 4 )( x − 1)( x + 3 )

 

 

inicio

1