Apuntes de Álgebra
Felipe René Acosta Velázquez

Búsqueda personalizada

Ecuaciones Lineales de una incognita

 

 

¿Que son las ecuaciones lineales?

arriba

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas. En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c.

En el caso de las ecuaciones con una incógnita, se catalogan según el exponente más alto de la incógnita.

2x + 4 = 10 es una ecuación lineal o de primer grado.
2x2 + x + 5 = 9 es una ecuación cuadrática o de segundo grado.
3x3 + 5x2 – 2x + 1 = 8 es una ecuación de tercer grado

 

 

Procedimiento para resolver una ecuación lineal de una incógnita

arriba

Un procedimiento general para resolver las ecuaciones lineales de una incógnita es el siguiente:

1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común denominador.

2. Quitar paréntesis.

3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad para lograr que la ecuación tenga la forma:   ax = b

4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad

5. Verifique el resultado con la ecuación original

 

 

Ejemplos

arriba

①     Resolver la siguiente ecuación:     2x + 3 = 5

Simplificar los términos semejantes usando la propiedad aditiva.

2x + 3 - 3 = 5 - 3     ⇒     2x = 2

Usando la propiedad multiplicativa.

2x ( 1/2 ) = 2 ( 1/2 )     ⇒     x = 1

Comprobación:

2( 1 ) + 3 = 5     ⇒     5 = 5    

②     Resolver la siguiente ecuación:     10x   = x + 6
2

Multiplicando cada lado por el mínimo común denominador

10x • 2  = ( x + 6 ) 2     ⇒     10x = 2x + 12
2

Simplificar los términos semejantes usando la propiedad aditiva

10x - 2x = 2x + 12 - 2x     ⇒     8x = 12     ⇒     8x ( 1/8 ) = 12 ( 1/8 )     ⇒     x = 12 / 8

x =   3
2

Comprobación:

10(3/2)   = ( 3/2 ) + 6     ⇒     10( 3/2 ) = (( 3/2 ) + 6) 2     ⇒     15 = 15    
2

③     Resolver la siguiente ecuación:     12 = - 2 ( 2x - 6 )

Quitar paréntesis

12 ( -1/2 ) = - 2 ( 2x - 6 ) ( -1/2 )     ⇒     -6 = 2x - 6

Mediante la propiedad aditiva

-6 +6= 2x -6 + 6     ⇒     0 = 2x

Mediante la propiedad multiplicativa

0 (1/2) = 2x ( 1/2 )     ⇒     0 = x

Mediante la propiedad reflexiva

x = 0

Comprobación:

12 = - 2 ( 2( 0 ) - 6 )     ⇒     12 = - 2 ( - 6 )     ⇒     12 = 12    

④     Resolver la siguiente ecuación:     3 ( 2x - 4 ) + 3 ( x + 1 ) = 9

Quitar paréntesis

[ 3 ( 2x - 4 ) + 3 ( x + 1 ) ] ( 1/3 ) = [ 9 ] ( 1/3 )     ⇒     2x - 4 + x + 1 = 3     ⇒     3x - 3 = 3

Mediante la propiedad aditiva

3x - 3 + 3 = 3 + 3     ⇒     3x = 6

Mediante la propiedad multiplicativa

3x ( 1/3 ) = 6 ( 1/3 )     ⇒     x = 2

Comprobación:

3 ( 2 ( 2) - 4 ) + 3 ( 2 + 1 ) = 9 3 ( 4 - 4 ) + 3 ( 3 ) = 9     ⇒     3 ( 3 ) + 0 = 9     ⇒     9 = 9    

⑤     Resolver la siguiente ecuación:     x + 3   = 6
4

Eliminar fracciones

x + 3   ( 4 ) = 6 ( 4 )     ⇒     x + 3 = 24
4

Mediante la propiedad aditiva

x + 3 - 3 = 24 - 3     ⇒     x = 21

Comprobación:

21 + 3   = 6     ⇒     24   = 6     ⇒     6 = 6    
4 4

 

 

⑥     Resolver la siguiente ecuación:     - 3/5 ( 15 - 2x ) = - 3

Quitar paréntesis

- 3/5 ( 15 - 2x ) ( 5/3 )= - 3 ( 5/3 )     ⇒     15 - 2x = 5

Mediante la propiedad aditiva

15 - 2x - 15 = 5 - 15     ⇒     - 2x = - 10

Mediante la propiedad multiplicativa

- 2x ( -1/2 )= - 10 ( -1/2 )     ⇒     x = 5

Comprobación:

- 3/5 ( 15 - 2 ( 5 ) ) = - 3     ⇒     - 3/5 ( 15 - 10 ) = - 3     ⇒     - 3/5 ( 5 ) = - 3     ⇒     -3 = -3    

⑦     Resolver la siguiente ecuación:     4x - 5 ( x + 3 ) = 2x - 3

Quitar paréntesis

4x - 5x -15 = 2x - 3     ⇒     - x - 15 = 2x

Mediante la propiedad aditiva

- x -15 + 15 = 2x - 3 + 15     ⇒     - x = 2x + 12

- x - 2x = 2x + 12 - 2x     ⇒     - 3x = 12

Mediante la propiedad multiplicativa

- 3x ( -1/3 ) = 12 ( -1/3 )     ⇒     x = - 4

Comprobación:

4 ( -4 ) - 5 ( ( -4 ) + 3 ) = 2 ( -4 ) - 3   ⇒   - 16 - 5 ( -1 ) = -8 - 3  ⇒   -16 + 5 = -11   ⇒   -11 = -11    

⑧     Resolver la siguiente ecuación:     x - 8   +   x   =   - 8
5 3 5

Quitar fracciones multipicando por el mínimo común denominador

x - 8 ( 15 ) +  x ( 15 ) = - 8 ( 15 )     ⇒     3( x - 8 ) + 5x = 3( -8 )
5 3 5

Quitar paréntesis

3x - 24 + 5x = -24     ⇒     8x - 24 = - 24

Mediante la propiedad aditiva

8x - 24 + 24 = - 24 + 24     ⇒     8x = 0

Mediante la propiedad multiplicativa

8x ( 1/8 ) = 0 ( 1/8 )     ⇒     x = 0

Comprobación:

0 - 8   +   0   =   - 8     ⇒     - 8   =   - 8    
5 3 5 5 5
⑨     Resolver la siguiente ecuación:     x + 1   =   x - 4   -   2x - 3
4 2 4

Quitar fracciones multipicando por el mínimo común denominador

x + 1 ( 4 )  =   x - 4 ( 4 )  -   2x - 3 ( 4 )     ⇒     x + 1 = 2( x - 4 ) - ( 2x - 3 )
4 2 4

Quitar paréntesis

x + 1 = 2x - 8 - 2x + 3     ⇒     x + 1 = - 5

Mediante la propiedad aditiva

x + 1 - 1 = - 5 - 1    ⇒     x = - 6

Comprobación:

-6 + 1   =   -6 - 4   -   2( -6 ) - 3   ⇒   -5   =   -10   -   -15   ⇒   -5   =   - 20   +   15   ⇒   -5   =   -5  
4 2 4 4 2 4 4 4 4 4 4
⑩     Resolver la siguiente ecuación:     2 ( x + 2 )   =   x
5 3

Quitar fracciones multipicando por el mínimo común denominador

2 ( x + 2 ) ( 15 )  =   x ( 15 )    ⇒     2( x + 2 )( 3 ) = 5x
5 3

Quitar paréntesis

6x + 12 = 5x

Mediante la propiedad aditiva

6x + 12 - 12 = 5x - 12     ⇒     6x = 5x -12

6x - 5x = 5x -12 - 5x     ⇒     x = - 12

Comprobación:

2 ( - 12 + 2 )   =   -12   ⇒   2 ( - 10 )( 15 )   =   -12( 15 )   ⇒   -60 = -60  
5 3 5 3

 

 

inicio

1