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Apuntes de álgebra
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Radicales

 

Radicales

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Raíz

Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada. De esta forma la raíz cuadrada de 4a² es 2a porque (2a)² = 4a² y - 2a también es raíz cuadrada de 4a² porque (- 2a)² = 4a²

El signo de la raíz se llama signo radical, debajo del signo radical va la expresión a la que se extrae la raíz que se llama radicando.

Otra parte de la expresión radical es el índice. El índice indica la raíz de la expresión. Por convención el índice 2 no se escribe, por cual cuando un signo radical no tiene índice escrito se entiende que el índice es 2.

INDICE g ³ 4a²   f RADICANDO

Signos de las raíces

Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que el radicando:

327a³   = 3a   porque   (3a)³ = 27a³
3 - 27a³   = - 3a   porque   (- 3a)³ = - 27a³

Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo:

25a²   = ± 5a   porque   (5a)² = 25a²   y   (-5a)² = 25a²
4 16a4   = ± 2a porque   (2a)4 = 16a4   y   (-2a)4 = 16a4

Las raíces pares de una cantidad negativa, no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da resultado positivo. Los números resultado de estas raíces se llaman números imaginarios.
-9  es un número imaginario
4 - 16a4   es un número imaginario

 

 

Multiplicación de radicales

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Regla del producto para radicales

Para un número natural n que es el índice, y números reales no negativos a y b,

  na   nb   =  nab

Veamos dos ejemplos:

4 2   =   8
  3x   3x2   =  3x3

Simplificar un radical con la regla del producto

El primer paso es factorizar el radicando en dos factores, donde uno de ellos tiene la potencia perfecta mayor, es decir, el exponente del factor es divisible entre el índice.

Como ejemplo vamos a simplificar el siguiente radical:

  3 x10   =     3 x9x

El segundo paso es aplicar la regla del producto para plantear la expresión como un producto de raíces

  3 x9x   =     3 x9   3 x

Por último, encontrar las raíces de las potencias perfectas

  3 x9   3 x   =   x9/3   3 x   =   x3   3 x

 

 

División de radicales

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Regla del cociente para radicales

Para un número natural n que es el índice, y números reales no negativos a y b,

  n a
  =   n   a  
b
  n b

Ejemplo

  75x2
  =   75x2
3x2
  =   25   =   5
3x2

Simplificar un radical con la regla del cociente

Un radical se simplifica al máximo cuando se cumplen las siguientes tres condiciones:

1.- No hay potencias perfectas en ningún radicando.

2.- Ningún radicando contiene fracciones.

3.- No hay radicales en ningún denominador.

Cuando el denominador de una fracción contiene un radical, la expresión se simplifica racionalizando el denominador, es decir eliminando el radical del denominador.

Para racionalizar un denominador, multiplique el numerador y el denominador por un radical que origine que el radicando del denominador se convierta en potencia perfecta.

Ejemplo.

Simplificar: 1
5

Para racionalizar el denominador multiplicamos por la raíz de 5.

1   =  

1   .  

5
  =  

5
  =  

5
5
5
5
25
5

 

 

Adición y sustracción de radicales

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Radicales semejantes

Los radicales semejantes son aquellas que tienen los mismos radicandos e igual índice.

Ejemplo:

7 5x     es semejante a     -2 5x

7 5x     no es semejante a     -2 6x

Los radicales semejantes se suman y restan de manera sumando o restando los coeficientes que los multiplican.

Ejemplo:

3 5x   +   2 5x   =     ( 3 + 2 ) 5x   =   5 5x
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