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Apuntes de Cálculo Diferencial

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La derivada de funciones algebraicas

 

 

Fórmulas de derivación

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La regla general para la derivación es de importancia fundamental, ya que surge directamente de la definición de derivada. Sin embargo el procedimiento para derivar con ella es largo y difícil, por lo que se han deducido de la regla general una serie de fórmulas para derivar ciertas expresiónes algebraicas que se presentan con frecuencia, con el fin de facilitar la tarea

Formulario

I.- Derivada de una constante:

dc   = 0
dx

II.- Derivada de una variable respecto a si misma:

dx   = 1
dx

III.- Derivada de una suma:

d ( u + v - w ) =   du   +   dv   -   dw
dx dx dx dx

IV.- Derivada del producto de una constante por una función:

d ( cv ) =   c dv
dx dx

V.- Derivada del producto de dos funciones:

d ( uv ) =   u dv   +   v du
dx dx dx

VI.- Derivada de la potencia de una función, siendo el exponente constante:

d ( vn ) =   nvn - 1 dv
dx dx

VIa.- Derivada de la potencia de una variable respecto a si misma, siendo el exponente constante:

d ( xn ) =   nxn - 1
dx

VII.- Derivada del cociente de dos funciones:

d ( u / v ) =   v du   -   u dv
dx dx dx
v2

VIIa.- Derivada del cociente de una función dividida por una constante:

d ( u / c ) =   du
dx dx
c

VIII.- Derivada de una función de función:

dy   =   dy   *   dv     siendo y función de v
dx dv dx

IX.- Derivada de una función inversa:

dy   =   1     siendo y función de x
dx dx
dy

 

Derivación utilizando las fórmulas

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Para ilustrar como se utilizan las fórmulas derivaremos las siguientes funciones:

1.-     y = x4

Solución:

Segun la fórmula VIa

dy   =   d ( x4 ) =   4x4 - 1 =     4x3  
dx dx

 

2.-     y = 3x4 - 2x2

Solución:

Segun la fórmula III

dy   =   d ( 3x4 - 2x2 )   =   d ( 3x4 )   -   d ( 2x2 )
dx dx dx dx

Segun la fórmula IV

dy   =   d ( 3x4 - 2x2 )   =   3 d ( x4 )   -   2 d ( x2 )
dx dx dx dx

Segun la fórmula VIa

dy   =   3( 4x3) - 2( 2x )   =     12x3 - 4x  
dx

 

3.-     y = x2/3 - 3

Solución:

Segun las fórmulas III, VIa, y I

dy   =   d ( x2/3 )   -   d ( 3 )   =   2/3 x-1/3 - 0   =     2/3 x-1/3  
dx dx dx

Para simplificar se elimina el exponente negativo:

dy   =   2   ( x2/3   =     2x2/3   =  
dx 3x1/3  ( x2/3 3x
  2  3 x2
3x

 

4.-     y =   a2 - x2

Solución:

Segun la fórmula VI

dy   =   d ( a2 - x2 )1/2 =   1/2 ( a2 - x2 )-1/2 d ( a2 - x2 )   = 1/2 ( a2 - x2 )-1/2( -2x ) = - x( a2 - x2 )-1/2
dx dx dx

dy   =  
dx
- x
a2 - x2

 

5.-     y = ( 3x + 2 )( 4x2 - 3)

Solución:

Según la fórmula V:

dy   =   ( 3x + 2 ) d ( 4x2 - 3)   +   ( 4x2 - 3) d ( 3x + 2 )
dx dx dx

dy   =   ( 3x + 2 )( 8x ) + ( 4x2 - 3)( 3 ) = 24x2 + 16x + 12x2 - 9 =     36x2 + 16x - 9  
dx

 

6.-     y =   2 - x
2 + x

Solución:

Segun la fórmula VII

dy   =   ( 2 + x ) d ( 2 - x )   -   ( 2 - x ) d ( 2 + x )
dx dx dx
    ( 2 + x )2

dy   =   ( 2 + x )( -1 ) - ( 2 - x )( 1 )   =   - 2 - x - 2 + x
dx ( 2 + x )2 ( 2 + x )2

dy   =   - 4
dx ( 2 + x )2

 

 

Derivada de una función de función

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En ocaciones y no se define directamente como función de x, sino que se da como función de otra variable v que se define como función de x. En este caso y es función de x por intermedio de v, y se llama función de función

Si   y = ƒ(v)   y   v = f(x)  , decimos que y es función de x por intermedio de v. Entonces si damos a x un incremento Dx, obtendremos para v un incremento Dv y para y un incremento correspondiente Dy. Teniendo esto en cuenta, si derivamos simultaneamente a las dos funciones y multiplicamos sus resultados obtenemos

dy   *  dv   =   dy
dv dx dx

Ejemplo

Derivar respecto a x la función y = 2v2 - 2 dado que v = 3x + 1

dy   =   4v   dv   =   3
dv dx

dy   =   dy   *  dv   =   ( 4v )( 3 ) = 12v
dx dv dx

Como v = 3x + 1

dy   =   12( 3x + 1 ) =   36x + 12  
dx

 

 

Derivada de funciones inversas

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Si tenemos una función   y = ƒ(x)   que se puede resolver respecto a x, de tal forma que consideremos a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente, a esta función   x = f(y)   se le llama función inversa, en contraparte, a la función original se le llama función directa.

La derivada de una función inversa es igual al recíproco de la derivada de la función directa:

dy   =   1   o también   ƒ'(x) =   1
dx dx f'(y)
    dy    

Ejemplo

Dado que   y = x2   demostrar que   y' = 2x   derivando la función inversa.

Primero encontramos la función inversa   x = f(y)  

x = y1/2

Se calcula la derivada de la función inversa

x' =1/2 y-1/2

Se aplica la fórmula

ƒ'(x) =   1   entonces   y' =   1   =   2y1/2
f'(y) 1/2 y-1/2

Y como   y = x2  

y' = 2(x2)1/2

y' = 2x

 

Derivada de funciones implícitas

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Cuando hay una relación entre x y y por una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Cuando y se define como función implícita de x, puede no ser conveniente despejar y, ya sea porque es imposible o porque la función resultante es muy complicada, en estos casos se utiliza el "procedimiento para derivar funciones implícitas" siguiente.

1.- Derivar cada término de la ecuación considerando y como función de x

2.- De la ecuación resultante despejar   dy/dx  

Ejemplo

Derivar la ecuación   4x3 + 3x2y - y2x = 5  

1.- Derivar cada término de la ecuación considerando y como función de x

dy (4x3) +   dy (3x2y) -   dy (y2x) =   dy (5)
dx dx dx dx

12x2 +   3x2 dy   + 6xy - y2 - 2xy dy   = 0
dx dx

2.- De la ecuación resultante despejar   dy/dx  

( 3x2 - 2xy ) dy   + 12x2 + 6xy - y2 = 0
dx

( 3x2 - 2xy ) dy   = - 12x2 - 6xy + y2
dx

dy   =   - 12x2 - 6xy + y2
dx 3x2 - 2xy

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