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Apuntes de Cálculo Diferencial

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La derivada

 

 

La derivada

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Incrementos

El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa con el símbolo Dx, que se lee "delta x".

El incremento puede ser positivo o negativo, según si la variable aumenta o disminuye su valor.

Si en y = ƒ (x) la variable independiente x tiene un incremento Dx, entonces Dy indicará el incremento correspondiente de la función y.

Por ejemplo, consideremos la función:

y = x2

Si asignamos un valor inicial a la variable x = 5, entonces el valor inicial de y = 25

Si x aumenta a x = 10 por lo tanto Dx = 5, entonces y = 100 para un incremento de Dy = 75.

Si x disminuye a x = 3 con Dx = -2, entonces y = 9 con Dy = -16.

En este caso y aumenta cuando x se incrementa. Los valores de Dx y Dy tienen el mismo signo. Si y decrece cuando x aumenta o viceversa, los signos de los incrementos serán contrarios.

La derivada de una función

La definición fundamental del cálculo diferencial es la siguiente:

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero.

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada.

Podemos definir la derivada de manera simbólica en la forma siguiente:

Dada la función

y = ƒ (x)

Se da a x un incremento Dx; entonces obtenemos para la función y un incremento Dy,

y + Dy = ƒ (x + Dx )

Para encontrar el incremento de la función, se resta la función original y se obtiene:

y + Dy - y = ƒ (x + Dx ) - ƒ (x)

Dy = ƒ (x + Dx ) - ƒ (x)

Se encuentra la razón de los dos incrementos dividiendo ambos miembros de la ecuación entre Dx

Dy   =   ƒ (x + Dx ) - ƒ (x)
Dx Dx

Se calcula el límite a los dos miembros de la ecuación cuando Dx tiende a cero, que es por definición la derivada de ƒ (x),

límDxg0 Dy   =   límDxg0 ƒ (x + Dx ) - ƒ (x)
Dx Dx

Que se representa con:

dy   =   límDxg0 Dy
dx Dx

La derivada se puede representar de las siguientes maneras:

dy   = límDxg0 Dy   =   y'   =   ƒ'(x)
dx Dx

 

 

Regla general para la derivación

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El procedimiento general para derivar una función   y = ƒ(x)   consta de los siguientes pasos:

1.- Se sustituye en la función x por x + Dx, y se calcula el nuevo valor de la función y + Dy.

2.- Se resta el valor dado de la función al nuevo valor , y se obtiene Dy (incremento de la función).

3.- Se divide Dy (incremento de la función) entre Dx (incremento de la variable independiente).

4.- Se calcula el límite de este cociente cuando Dx tiende a cero. El límite encontrado es la derivada.

Ejemplo

Calcular la derivada de la función    y = 2x2 + 3

Solución:

Se sustituye x por x + Dx y y por y + Dy.

y + Dy = 2( x + Dx )2 + 3

y + Dy = 2x2 + 4xDx + 2Dx2 + 3

Se resta la función original.

  y + Dy   =   2x2 + 4xDx + 2Dx2 + 3
- y     =        - 3
    Dy   =       4xDx + 2Dx2  

Se divide entre Dx

Dy   =   4xDx + 2Dx2   =   4x + 2Dx
Dx Dx

Se calcula límite de ambos lados cuando Dx g 0

límDxg0 Dy   =   límDxg0 ( 4x + 2Dx )
Dx

Y el resultado es la derivada

dy   =   4x
dx

 

 

 

Interpretación geométrica de la derivada

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Tenemos una función   y = ƒ(x)   ( línea azul ); que pasa por el punto P, si se da a x un incremento Dx (en la gráfica H); entonces obtenemos para la función y un incremento Dy (en la gráfica G), se forma el punto Q.

   

La razón de los dos incrementos Dy / Dx es la pendiente de la secante PQ ( línea verde ).

Al hacer que Dx tienda a cero, es decir que H sea lo más pequeño posible, la pendiente de la secante PQ tiende a la pendiente de la tangente a la curva en el punto P ( línea roja ).

límDxg0 Dy   =   la pendiente de la tangente en el punto P
Dx

Como el límite de la razon del incremento de y entre el incremento de x cuando este tiende a cero es el concepto de la derivada, podemos llegar a la conclusión siguiente:

La derivada de una función   y = ƒ(x)   es igual a la pendiente de la tangente en un punto dado

 

 

Problemas

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Calcular la derivada de cada uno de las siguientes funciones utilizando la regla general:

1.-     y = 2x - x2

Solución:

y + Dy = 2( x + Dx ) - ( x + Dx )2

y + Dy = 2x + 2Dx - x2 - 2xDx - Dx2

y + Dy - y = 2x + 2Dx - x2 - 2xDx - Dx2 - 2x + x2

Dy = 2Dx - 2xDx - Dx2

Dy = 2Dx - 2xDx - Dx2
Dx Dx

Dy = 2 - 2x - Dx
Dx

dy = 2 - 2x
dx

 

2.-     y = ( 2 - 3x )2

Solución:

y = 4 - 12x + 9x2

y + Dy = 4 - 12( x + Dx ) + 9( x + Dx )2

y + Dy = 4 - 12x - 12Dx + 9x2 + 18xDx + 9Dx2

y + Dy - y = 4 - 12x - 12Dx + 9x2 + 18xDx + 9Dx2 - 4 + 12x - 9x2

Dy = - 12Dx + 18xDx + 9Dx2

Dy = - 12Dx + 18xDx + 9Dx2
Dx Dx

Dy = - 12 + 18x + 9Dx
Dx

dy = - 12 + 18x
dx

 

3.-     y =   3
x2 + 2

Solución:

y + Dy =   3
( x + Dx )2 + 2

y + Dy - y =   3   -   3
( x + Dx )2 + 2 x2 + 2

Dy =   3   -   3
( x + Dx )2 + 2 x2 + 2

Dy =   3( x2 + 2 ) - 3[ ( x + Dx )2 + 2 ]
[ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

Dy =   ( 3x2 + 6 ) - 3( x2 + 2xDx + Dx2 + 2 )
[ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

Dy =   3x2 + 6 - 3x2 - 6xDx - 3Dx2 - 6
[ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

Dy =   - 6xDx - 3Dx2
[ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

Dy   =   - 6xDx - 3Dx2
Dx Dx[ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

Dy   =   - 6x - 3Dx
Dx [ ( x + Dx )2 + 2 ][ x2 + 2 ]

dy   =   - 6x
dx ( x2 + 2 )( x2 + 2 )

dy   =   - 6x
dx ( x2 + 2 )2

 

4.-     Encontrar el punto de la curva y = 5 x - x2 en el que la inclinación de la tangente es de 45°

Solución:

Para que la inclinación de la tangente sea de 45° la pendiente debe ser igual a 1. Como se vió anteriormente la pendiente de la tangente de un punto de la curva es igual a la derivada, entonces:

dy ( 5 x - x2 ) = 1
dx

Por lo tanto se procede a calcular la derivada de la función para después igualarla a 1

y = 5 x - x2

y + Dy = 5( x + Dx ) - ( x + Dx )2

y + Dy = 5x + 5Dx - x2 - 2xDx - Dx2

Dy = 5Dx - 2xDx - Dx2

Dy = 5Dx - 2xDx - Dx2
Dx Dx

Dy = 5 - 2x - Dx
Dx

dy = 5 - 2x
dx

Ya que tenemos la derivada se iguala a 1 para encontrar el valor de x

1 = 5 - 2x

2x = 5 - 1

x = 4 / 2

x = 2

La pendiente de la tangente al punto de la curva cuando x = 2 tiene una inclinación de 45°

 

 

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