MasMatemáticas
Apuntes de Cálculo Integral

Búsqueda personalizada

Integración

 

 

Concepto de Integración

arriba

En el cálculo integral se realiza la operación inversa a la derivada, es decir, se pretende encontrar una función cuya derivada es conocida. Como en el cálculo integral es usual emplear diferenciales, se puede enunciar el problema del cálculo integral como sigue:

Integrar una expresión diferencial, es encontrar la función primitiva cuyo diferencial es dado.

La función ƒ(x) que asi se obtiene es la integral de la expresión diferencial dada y se denomina Función primitiva; el procedimiento para encontrarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral ( ʃ ) delante de la expresión diferencial dada, como a continuación:

ʃƒ'(x)dx = ƒ(x)

Que se lee la integral de ƒ'(x)dx es igual a ƒ(x). En general el signo ʃ se lee integral de. El diferencial dx indica que x es la variable de integración. Por ejemplo:

Si ƒ(x) = x3, y ƒ'(x)dx = 3x2dx, entonces:

ʃ3x2dx = x3

 

Integral indefinida

arriba

El diferencial de una función dada es igual al diferencial de otra función, cuando estas solo difieren por una constante. Por ejemplo:

d(x2) = 2x dx

d(x2 - 2) = 2x dx

d(x2 + 3) = 2x dx

Por lo tanto, cuando se integra la expresión diferencial 2x dx el resultado sería:

ʃ2x dx = x2 + C

La constante arbitraria C se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, para una expresión diferencial existe una infinidad de integrales que difieren entre si solo en una constante. Puesto que C es desconocida e indefinida, a la expresión ƒ(x) + C se le llama integral indefinida.

Se llama integral indefinida de ƒ(x), al conjunto de todas las primitivas de ƒ(x)

ʃƒ'(x)dx = ƒ(x) + C

Interpretación Geométrica de la Integral Indefinida

arriba

Ya hemos visto que conociendo la función derivada de una función podemos recuperar la función original a la que hemos llamado función primitiva.

   

Se quiere integrar la siguiente expresión diferencial:

ʃ(-2x -1)dx

Es decir se quiere saber cual es la función primitiva de la derivada siguiente. Recordemos que la derivada de una función es la pendiente de la tangente (graficada en verde) en un punto de la función ( P )

y' = -2x -1

Teniendo como base los conocimientos de derivación, sabemos la función primitiva ( graficada en azul ) que dió origen a esta derivada es:

y = - x2 - x + C

La constante de integración C puede tomar cualquier valor, lo que produce una función primitiva diferente en cada caso.

 

 

inicio

1 1