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Apuntes de Cálculo Diferencial

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Derivación de funciones trascendentes

 

 

Funciones Trascendentes

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Concepto de funciones trascendentes

Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Existen varios tipos de funciones trascendentes, las funciones exponenciales, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas, y las funciones hiperbólicas. En esta sección vamos a ver la derivación de funciones logarítmicas y exponenciales, y la derivación de funciones trigonométricas e hiperbólicas en la siguiente sección.

 

Derivación de funciones logarítmicas

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Logaritmo

El logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado.

Ejemplo:

log5(25) = 2   porque   52 = 25

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10, y son los que se utlizan con mayor frecuencia. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no es necesario indicar la base 10, de tal forma que log x es igual a log10x.

Los logaritmos naturales o neperianos son los que tienen como base la constante de Neper (número e)

Las funciones logarítmicas son las que tienen la variable independiente en el argumento de un logaritmo. Su función no está definida para valores negativos de x, ni para x = 0. Son funciones crecientes para todos los valores de x > 0 y es continua en todos sus puntos. Son ejemplos de ecuaciones logarítmicas las de la gráfica siguiente:

Las fórmulas para calcular la derivada a las funciones logarítmicas son:

X.- Derivada del logaritmo natural de una variable:

d ( ln v ) =   1 dv
dx v dx

Xa.- Derivada del logaritmo común de una variable:

d ( log v ) =   log e dv
dx v dx

Ejemplos

1.-     Derivar la función:   y =   ln 1 - x2

Solución:

A veces, en la derivación de funciones logarítmicas, en vez de aplicar directamente las fórmulas X y Xa se puede simplificar primero la expresión utilizando las Reglas de los Logaritmos. Utilizando la regla de potencia de logaritmos podemos escribir la función sin radicales.

y = 1/2 ln (1 - x2)

Ahora aplicamos la fórmula X

dy   =   1 * 1 * d (1 - x2)
dx 2 1 - x2 dx
dy   =   1 * (-2x) =   -2x (-2x) =   -x
dx 2(1 - x2) 2(1 - x2) 1 - x2
dy   =   x
dx x2 - 1

2.-     Derivar la función:   y =   log   2
x

Solución:

Utilizando la Regla del cociente para logaritmos se simplifica el argumento del logaritmo.

y = log 2 - log x

Aplicamos la fórmula III.

dy   =   d ( log 2 ) -   d ( log x ) = 0 -   d ( log x ) =   - d ( log x )
dx dx dx dx dx

Aplicamos la fórmula Xa.

dy   =   - log e * d ( x )
dx x dx
dy   =   - log e
dx x

 

 

Derivación de funciones exponenciales

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Las funciones exponenciales son las que tienen la variable independiente en el exponente. Su gráfica es como la de la figura. Su función es creciente para todos los valores de x y es continua en todos sus puntos. Son ejemplos de ecuaciones exponenciales las de la gráfica siguiente:

   

En general una funcion exponencial es de la forma   ƒ(x) = ax  ( donde a es una constante positiva ).

Las fórmulas para calcular la derivada a las funciones exponenciates son:

XI.- Derivada de la potencia de una costante, siendo el exponente una variable:

d ( av ) =   av ln a dv
dx dx

XIa.- Derivada de la potencia de la costante de Neper o número e, siendo el exponente una variable:

d ( ev ) =   ev dv       donde       e = 2.7182818
dx dx

XII.- Derivada de la función exponencial general:

d ( uv ) =   vuv-1 du + ln( u ) uv dv
dx dx dx

Ejemplos

1.-     Derivar la función y = 43x2

Según la fórmula XI,   a=4,   v=3x2

dy =   43x2( ln 4 )( 6x ) =   43x26x ln 4  
dx

2.-     Derivar la función y = xex

Según la fórmula XII,   u = x,   v = ex

dy   =   exx ex-1 d ( x ) + ln( x ) x ex d ( ex )
dx dx dx

dy   =   exxex-1 + ln( x ) xexex   =   exxexx-1 + ln( x ) xexex   =   exxex ( x-1 + ln x )
dx

dy   =     exxex ( 1 / x + ln x )  
dx

 

 

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