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Cálculo de áreas bajo la curva normal

 

 

Áreas bajo la curva normal

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Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el área bajo la curva, que representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores, se distribuye siempre en la misma proporción.

En la tabla de la distribución normal estándar, están registradas las áreas bajo la curva normal que se encuentran a la derecha de los valores Z positivos, de esta forma solo se necesita transformar la distribución normal de interés en una distribución normal estándar mediante la fórmula, y el área a la derecha del valor z será el mismo que el área a la derecha de x.

Ejemplo

Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si se selecciona un aspirante al azar, encuentre la probabilidad de que:

a) Tenga un coeficiente mayor de 120.

b) Tenga un coeficiente mayor de 100.

Solución

a) Hay una distribución normal con media 115 y desviación estándar de 12 y queremos saber cual es la probabilidad de que x sea mayor de 120, es decir, cuanto mide el área a la derecha del 120.

Lo primero es transformar esta distribución normal en una distribución normal estándar (con media cero y desviación estándar 1), para lo cual hay que cambiar el valor de x por un valor Z con la fórmula.

z = x – μ
σ
= 120 – 115
12
= 0.41

La distribución ya transformada queda así:

Se busca el valor del área a la derecha del valor Z en la tabla de áreas bajo la curva normal, la unidad y la primer decimal se buscan en la primer columna, y la segunda decimal en el primer renglón, donde se cruzan renglón y columna es el valor del área a la derecha del valor z. En este ejemplo:

Z 1
0.4 .34090

Y como el área a la derecha del valor z es el área que buscamos, entonces este es el resultado, es decir, la probabilidad de que un aspirante a la universidad tenga un coeficiente intelectual mayor de 120 es .34090

b) Para encontrar la probabilidad de que un aspirante tenga un coeficiente intelectual mayor de 100, primero se traza la curva de la distribución normal original, para luego transformarse en la distribución normal estándar.

El valor z se calcula con la fórmula:

z = x – μ
σ
= 100 – 115
12
= -1.25

En la tabla de áreas bajo la curva normal no se tabularon valores z negativos, pero como la curva normal es simétrica, el área a la izquierda del valor z = -1.25 es del mismo tamaño que el área a la derecha del valor z = 1.25, por lo que solo se necesita buscar en la tabla el área correspondiente al valor positivo.

Z 5
1.2 .10565

El área de .10565 corresponde a la que se encuentra a la izquierda del valor z, pero nosotros no queremos esa area, sino la se encuentra a la derecha, que podemos calcular restando el área de .10565 al área total bajo la curva que es 1.

P( x > 100 ) = 1 - .10565 = 0.89435

 

Ejercicios

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1.- Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón viva:

a) Mas de 32 meses

b) Menos de 28 meses

c) Entre 37 y 49 meses

d) Entre 45 y 50 meses

e) Entre 40 y 43 meses

f) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan más de 30 meses?

SOLUCIÓN

2.- Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras son

a) Mas largas de 31.7 cm?

b) Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud?

c) Entre 32 cm. y 35 cm?

d) Mas cortas de 38 cm?

e) Entre 27.5 cm. y 30 cm?

f) ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 barras, tres midan más de 35 cm.?


3.- Un abogado va todos los días de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio del viaje es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si las duraciones de los viajes están distribuidas normalmente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale de su casa diariamente a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo?

c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de las 8:50 a.m. a las 9:00 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la hora del café?

d) Encuentre cual es el tiempo a partir del cual que duran el 15% de los viajes más lentos?

e) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen como máximo 1/2 hora.


4.- Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm., ¿cuántos de estos estudiantes se esperaría que tuvieran alturas

a) Menores de 160 cm?

b) Entre 171.5 cm y 182 cm?

c) Mayores a 165 cm?

d) Entre 174.5 cm y 180 cm?

e) Entre 180 cm y 195 cm?

f) Menores de 185 cm?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que de cinco estudiantes, al menos 3 midan más de 180 cm?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que de 3 estudiantes, ninguno mida menos de 160 cm?


5. Una estación de radio encontró que el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una desviación estándar de 3.5 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación por:

a) más de 20 minutos?

b) Entre 15 y 18 minutos?

c) entre 10 y 12 minutos?

d) ¿Cuantos minutos como máximo sintonizan la estación el 70% de los radioescuchas?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 radioescuchas, al menos 7 sintonicen la estación por más de 5 minutos?